বিজ্ঞান:: সূচকের খেলা (২) - সূর্যনাথ ভট্টাচার্য

সূচকের খেলা (২)

সূর্যনাথ ভট্টাচার্য

বন্ধুরা, গতবারে কয়েকটা সূচকের খেলা দেখেছি। অঙ্কের জগতে মজার কিন্তু শেষ নেই। সূচক নিয়ে আরও কয়েকটা খেলা তোমাদের কাছে নিয়ে আসছি। ইতিমধ্যেই আবার নতুন বছর চলে এসেছে। সেই ২০১৫ গিয়ে ২০১৬ কী ভাবে এলো, তাই নিয়ে এক বন্ধু দেখিয়ে দিল এক সূচকের খেলা। সেটা দিয়েই শুরু করি।

প্রথম খেলা। ২০১৬ সংখ্যাটার কয়েকটা দারুণ বিশিষ্টতা দেখা যাচ্ছে। প্রথমত, ১ থেকে ৬৩ পর্যন্ত সব ক’টা পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে পাওয়া যায় ২০১৬। তারপর, ২-এর পঞ্চম থেকে দশম ঘাতগুলির যোগফলও ২০১৬! আবার ৩ থেকে ৯ সংখ্যার ঘনফলের সমষ্টিও হল ২০১৬! এইগুলো অঙ্কে লিখে দিলে এইরকম লাগবে —

২০১৬ = ১+২+৩+৪+ ... +৬০+৬১+৬২+৬৩
       = ২^৫+২^৬+২^৭+২^৮+২^৯+২^১০
       = ৩^৩+৪^৩+৫^৩+৬^৩+৭^৩+৮^৩+৯^৩ ।

এইগুলো থেকে খুব সহজেই পাই, শুধুমাত্র ২ আর ৩ ব্যবহার করে ২০১৬-কে এইভাবে দেখানো যায়ঃ

২০১৬ = ২×(৩২+৩৩+৩২+৩+৩২×৩) ।

২০১৬-র আর একটা রূপও বেশ চটকদার —

২০১৬ = ২^(৬-১)×(২^৬-১) ।

সেসব না হয় হল। কিন্তু ২০১৫ থেকে ২০১৬ এলো কী করে? দেখা যাক। প্রথমে ২০১৫ দুই ভাগ হয়ে হল ২ আর ০১৫ অর্থাৎ ১৫। ২-কে ১৫ সূচকে তুললে পাই ৩২৭৬৮। এই সংখ্যার অঙ্কগুলোর গুণফলই হল ২০১৬! অর্থাৎ —

২০১৫ > ২ । ০১৫ > ২^০১৫ বা ২^১৫ = ৩২৭৮৬ > ৩×২×৭×৮×৬ = ২০১৬ ।

হ্যাপি নিউ ইয়ার!

দ্বিতীয় খেলা। নীচের চিত্র ‘ক’ দেখ। চক্রাকারে দেখানো নয়টি সংখ্যার বিশেষত্ব সহজে চোখে পড়ে না। তা হলে বলেই দিই। বাইরের চক্রের প্রতিটি সংখ্যা তার আগের সংখ্যার অঙ্কগুলির বর্গের সমষ্টি।

দেখা যাচ্ছে ৮৯ থেকে শুরু করে আবার ৮৯ ফিরে এসেছে। অতএব এটা একটা আবদ্ধ চক্র, অর্থাৎ চক্রের যে কোনও সংখ্যা থেকে শুরু করে এই প্রক্রিয়া চালিয়ে গেলে অনির্দিষ্ট কাল তা চলতে থাকবে এই আটটি সংখ্যার মধ্যে।

ভিতরের চক্রে আছে শুধুই ১, যা অনির্দিষ্ট কাল ধরে বর্গ করে গেলেও তা ১-ই থাকবে।

তোমরা হয়তো ভাবছ, এ আর এমন কী কথা? অনেকবার করে গেলে, যে কোনও সংখ্যাই হয়তো আবার তাতেই ফিরে আসবে। অর্থাৎ আরও অনেক এইরকম আবদ্ধচক্র আছে।

না, এইখানেই আসল মজা। এই নয়টি সংখ্যা ছাড়া গণিতশাস্ত্রে আরও অগুনতি পূর্ণসংখ্যা আছে। তাদের যে কোনটির অঙ্কগুলির বর্গের সমষ্টি করে গেলে অবশেষে তা এই নয়টি সংখ্যার কোনটিতে এসে পর্যবসিত হবে এবং তারপর দুটি আবদ্ধচক্রের কোনও একটিতে আবহমান পাক খেতে থাকবে! এইরকম আবদ্ধচক্র এই দুটি বই আর নেই।

যে কোনও সংখ্যার ওপরেই এই পরীক্ষা করে দেখতে পারো। তা হয় ১ নয়তো বহির্চক্রের কোনও একটি সংখ্যায় (বেশীর ভাগ ক্ষেত্রেই দেখেছি ৮৯ সংখ্যাটা আসে, কারণ আমি জানিনা ভাই) এসে এক অনন্ত চক্রে পড়ে যাবেই! অন্যথা নেই।

কটা উদাহরণ দেখা যেতে পারে ¾

৩১>১০ >১    ৩২ >১৩ >১০ >১           ৩৩ >১৮ >৬৫ >৬১ >৩৭
৮০ >৬৪ >৫২ >২৯ >৮৫ >৮৯            ৮১ >৬৫ >৬১ >৩৭
৮২ >৬৮ >১০০ >১                       ১৪১ >১৮ >৬৫ >৬১ >৩৭         
১৪৯ > ৯৮ > ১৪৫   ২৪২ > ২৪ > ২০    ২৭১ >৫৪ >৪১ >১৭ >৫০ >২৫ >২৯ >৮৫ >৮৯
৯৮৩ > ১৫৪ > ৪২   ১০০৩২ >১৪ >১৭ >৫০ >২৫ >২৯ >৮৫ >৮৯

ছোট ছোট সংখ্যা নিয়ে দেখানো হয়েছে কম জায়গা নিতে। তোমরা যে কোনও সংখ্যা নিয়ে করে দেখতে পারো কিন্তু এর অন্যথা হবে না। যদিও কোনও কোনও সংখ্যার জন্যে অনেক মেহনত করতে হতে পারে।

তৃতীয় খেলা। বর্গ তো হল, ঘন (কিউব) করলে কী হয়? অর্থাৎ সংখ্যার অঙ্কগুলির বর্গ না করে ঘন করে যোগ করে গেলে? আশ্চর্য হল, তাহলেও দেখা যাবে শেষমেশ একটা অনন্ত চক্রে এসে থামতে হচ্ছে! যেমন ¾

দেখা যাচ্ছে, অন্তিম সংখ্যাটা শুরুর সংখ্যাটা হতেও পারে আবার না হতেও পারে। কিন্তু সর্বদাই অবধারিতভাবে একটা 'লুপ'-এ গিয়েই শেষ হবে।

এ ব্যাপারে ১, ১৫৩, ৩৭০, ৩৭১ এবং ৪০৭ এই পাঁচটি সংখ্যার এবং শুধুমাত্র এই পাঁচটি সংখ্যারই, বিশেষত্ব হল, এরা প্রথম থেকেই সেই চক্রে আছে। অর্থাৎ, এদের অঙ্কগুলির কিউবের যোগফল ঐ সংখ্যাগুলোই! ¾

অঙ্কে এরকম মজার সংখ্যার অন্ত নেই! অনেক ধাঁধা লাগানো ব্যাপারস্যাপার আছে, সাধারণ দৃষ্টিতে যা অস্বাভাবিক লাগে।

চতুর্থ খেলা। প্রথম যে কোনও সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার (১,২,৩,... ইত্যাদি) কিউবের সমষ্টি ঐ সংখ্যাগুলির সমষ্টির বর্গ হয়! করে দেখো —

প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার কিউবের সমষ্টি = ১^৩+২^৩+৩^৩+৪^৩+৫^৩ = ২২৫
প্রথম ৫টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = ১+২+৩+৪+৫ = ১৫, দেখাই যাচ্ছে, ১৫^২ = ২২৫।

একই ভাবে, প্রথম ১০৭টি স্বাভাবিক সংখ্যার কিউবের সমষ্টি =৩৩৩৮৫২৮৪, প্রথম ১০৭টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = ৫৭৭৮, এবং৫৭৭৮^২ = ৩৩৩৮৫২৮৪।

অন্যান্য যে কোনও সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যা নিয়ে করে দেখতে পারো। এটা অবশ্য স্কুল বীজগণিতের সাহায্যে খুব সহজেই প্রমাণ করা যায়।

পুনশ্চ। দুটো অদ্ভুত সংখ্যা–সূচক জোড়া দিয়ে শেষ করা যাক —

৬২০৫ = ৩৮^২+৬৯^২ এবং ৩৮৬৯ = ৬২^২+০৫^২

৫৯৬৫ = ৭৭^২+০৬^২ এবং ৭৭০৬ = ৫৯^২+৬৫^২ ।

শুধু সমাপতনের বিস্ময়টুকু ছাড়া আর কিছুই নেই অবশ্য এখানে!

______